Vinkelhalvering (teorem)

Vinkelhalvering på en ny måde Omskreven-og-indskreven-cirkel

Vinkelhalveringsteorem Flyvende vinkelhalvering

Statistik 24

Eksempel Enhver hændelse ( H ) er en delmængde af udfaldsrummet ( U ). Vi ser på sandsynligheden for med ét terningekast at få hændelsen H = (1 toer el. 1 firer el. 1 sekser). Sandsynligheden for, at en hændelse indtræffer angives med et stort P og beregnes ved at addere sandsynlighederne for samtlige hændelsens elementer: P ( H ) = p ( 2 ) + p ( 4 ) + p ( 6 ) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 0,5 Dersom sandsynlighedsfeltet er symmetrisk, er sandsynligheden for en hændelse P ( H ) = antal gunstige udfaldantal mulige udfald F.eks. kunne resultatet af ét kast med 2 terninger være: H = ( øjnenes sum er 6 ). De gunstige udfald er: ( 1, 5 ), ( 2, 4 ), ( 3, 3 ), ( 3, 3 ), ( 4, 2 ) og ( 5, 1 ). Da der er 6 gunstige udfald ialt, finder vi, at: P ( H ) = 6 ( 16 ⋅ 16 )             = ( 636  ) = 0,166666667 Ét kast med 2 terninger giver altså 16,67 % sandsynlighed for sammenlagt at få 6 øjne.

Komplementær  hændelse Af og til er det lettere at beregne sandsynligheden ( P ) for, at en hændelse ( H ) ikke indtræffer. Vi anvener da en modsat eller komplementær hændelse, som vi kalder ikke-H. Da udfaldet enten er H eller ikke H, er disse to sandsynligheders sum = 1 ( dvs. 100 % ): P ( H ) + P ( ikke-H ) = 1 P ( H)  = 1 - P ( ikke-H ) Vil vi beregne sandsynligheden for med 4 terningekast at slå mindst én sekser, så er den komplementære hændelse ikke-H = (ingen seksere). Da denne hændelse indebærer fravær af 6'ere, er der for hvert af de 4 kast 5 ugunstige udfald: 1, 2, 3, 4 eller 5. Og dermed er sandsynligheden for ingen 6'ere overhovedet givet ved: P(ikke-H) = ( 16 + 16 + 16 + 16 + 16 )4 = ( 5 ⋅ 16 )4 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 56 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 0,4823 Trækkes denne sandsynlighed fra 1, finder vi, at: P ( H ) = 1 - 0,4823 = 0,5177 Med 4 terninger er der således 51,77 % sandsynlighed for at slå mindst én sekser.