Parallelle cirkeltangenter

Parallelle cirkeltangenter 1

Parallelle cirkeltangenter 2

Tomgang i hamsterhjulet

Pariserhjul med tangent FriViden (video 21): Linjens ligning Webmatematik: Tangentligning

Tangentligning: ( P₁ ; P₂ ) = røringspunktets koordinatsæt trækkes fra cirkelcentrets koordinater: a = C1 − P1 b = C2 − P2 Derved fås en normalvektor, som vi kan indsætte i linjens ligning ( x - x₀ ) + ( x - y₀ ) = 0 sammen med røringspunktets koordinater ( P₁ ; P₂ ): a ( x − P1 ) + b ( y − P2 ) = 0 y =  −ab ⋅ x + a ⋅ P1b + b ⋅ P2b Som det ses, har P₁ og P₂ erstattet hhv. x₀ og y₀ i linjens ligning.

Vektorer (parallelogram/trapez)

Parallelogram eller trapez

FriViden (video 3): Regning med vektorer i planen Web-matematik (Vektorer i 2 D): Regning med vektorer

Vektorer (differens mellem to vektorer)

Vektorer (differens)

FriViden (video 3): Regning med vektorer i planen Web-matematik (Vektorer i 2 D): Regning med vektorer

Vektorer (sum af to vektorer)

Vektorer (addition) 1 Vektorer (addition) 2

FriViden (video 3): Regning med vektorer i planen Webmatematik: Vektorer i 2D: Regning med vektorer Wikipedia: Vektor (geometri) Forklaring Hvis vektor a→ betegner pilen fra A til B, og vektor b→ angiver pilen fra B til C, så angiver vektorsummen ( a→ + b→ ) pilen fra A til C

Vektorer (længde)

Længden af en vektor

FriViden (video 2): Længden af en vektor Webmatematik: Vektorer i 2D: Længde og afstandsformlen Wikipedia: Vektor (geometri)

Vektorer (introduktion)

Vektor AB og vektor BA

FriViden (video 1): Introduktion til vektorer i planen Webmatematik: Vektorer

Vektorer ( cirkel )

Flytbar cirkel Flyvende cirkel

Tangentligning: ( P₁ ; P₂ ) = røringspunktets koordinatsæt trækkes fra cirkelcentrets koordinater: a = ( Cx − P1 ) b = ( Cy − P2 ) Dermed fås en normalvektor, som vi kan indsætte i linjens ligning ( x - x₀ ) + ( x - y₀ ) = 0 sammen med røringspunktets koordinater ( P₁ ; P₂ ): a ( x − P1 ) + b ( y − P2 ) = 0 y =  −ab ⋅ x + a ⋅ P1b + b ⋅ P2b Som det ses, har P₁ og P₂ erstattet hhv. x₀ og y₀ i linjens ligning.

Cirkel-linje-skæring 3

Cirkel-linje-skæring

Korde, højde, centervinkel, cirkeludsnit, cirkelafsnit osv. Efter angivelse af 2 vilkårlige punkter ( A og B ) på en linje, beregnes (vha. vektorregning) dennes skæringspunkter. Linjens parametriske ligning: ( A1t + B1 − B1t, A2t + B2 − B2t ) x0 = B1 + ( A1 − B1 ) t y0 = B2 + ( A2 − B2 ) t x0 og y0 erstatter x og y i cirkelligningen: ( x0 − C1 )2 + ( y0 − C2 )2 = r2 Efter diverse omregninger fås en andengradsligning med disse konstanter: a = A21 + B21 + A22 + B22       − 2A1 B1 − 2A2 B2 b = 2B1 A1 − 2B1 B1 + 2B2 A2       − 2B2 B2 − 2A1 C1       + 2B1 C1 − 2A2 C2 + 2B2 C2 c = B21 + B22 + C21 − 2B1 C1       + C2y − 2By Cy − r2 Rødderne uddrages: t1 =  − b − √ b2 − 4ac2a t2 =  − b + √ b2 − 4ac2a Skæringskoordinaterne findes ved indsættelse af t2 og t3 i linjens ligning: x1 = B1 + ( A1 − B1 ) t1 y1 = B2 + ( A2 − B2 ) t1 x2 = B1 + ( A1 − B1 ) t2 y2 = B2 + ( A2 − B2 ) t2

Cirkel-linje-skæring 2

Cirkel-linje-skæring

Korde, højde, centervinkel, cirkeludsnit, cirkelafsnit osv. Efter angivelse af 2 vilkårlige punkter ( A og B ) på en linje, beregnes dennes skæringspunkter (vha. vektorregning). FriViden, video 33: Skæring ml. linie og cirkel Web-matematik: Cirkler og linjers skæringer

Cirkel-linje-skæring 1

Cirkel-linje-skæring

Korde, højde, centervinkel, cirkeludsnit, cirkelafsnit osv. Efter angivelse af 2 vilkårlige punkter ( A og B ) på en linje, beregnes dennes skæringspunkter. f ( x ) = a1 x + b1 a1 = Ay − ByAx − Bx b1 = Ax By − Ay BxAx − Bx f ( x ) erstatter y i cirkelligningen ( x − cx )2 + ( ( a1 x + b1 ) − cy )2 = r2 Derved fås andengradsligningen ( 1 + a21 ) x2 − ( 2 cx − 2a1 b1 + 2a1 cy ) x + ( b21 − 2b1 cy + c2y + c2x − r2 ) = 0 Andengradsligningens konstanter a = ( 1 + a21 ) b =  −( 2cx − 2a1 b1 + 2a1 cy ) c = ( b21 − 2b1 cy + c2y + c2x − r2 ) Skæringskoordinaterne x1 =  − b − √ b2 − 4ac2a y1 = f ( x1 ) x2 =  − b + √ b2 − 4ac2a y2 = f ( x2 )