Integralregning 15

Stamfunktion (opgave)

f ( x ) = 12√ x f ( x ) = x0 ⋅ x−0,52 ⋅ x0,5 ⋅ x−0,5 f ( x ) = x0 − 0,52 ⋅ x0,5 − 0,5 f ( x ) = x−0,52 ⋅ x0 f ( x ) = 12 ⋅ x−0,5 F ( x ) = 12 ⋅ 2 ⋅ x−0,5 + 1 + k F ( x ) = x0,5 + k F ( x ) = √ x + k

Integralregning 14

Web-matematik

Regneregler for ubestemt integral


Sumreglen:

∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = 

∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx

Eksempel:

∫ x3 − 1x2 dx =

∫ x3 dx + ∫ − 1x2 dx =

14 ⋅ x4 + 1x + k

Differentialkvotienter


Differensreglen:

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = 

∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx

Eksempel:

∫ 2x5 − 1x dx =

∫ 2x5 dx − ∫ 1x dx =

2 ⋅ 16 ⋅ x6 − ln ( x ) + k =

13 ⋅ x6 − ln ( x ) + k

Differentialregning (8)


Konstant-faktor-reglen:

∫ ( c ⋅ f ( x ) ) dx = 

c ⋅ ∫ f ( x ) dx

Eksempel:

∫ 5e2x dx =

5 ⋅ ∫ e2x dx =

5 ⋅ 12 ⋅ e2x + k =

52 ⋅ e2x + k 

Integralregning 13

Web-matematik

Integraler

∫ x dx = 12 ⋅ x2

∫ kx dx = k2 ⋅ x2

∫ k dx = k ⋅ x

∫ xn dx = 1n + 1 ⋅ xn + 1

∫ 1x dx = ln ( | x | )

Differentialregning (8)


∫ ax dx = axln ( a )

Integralregning (16)


∫ ex dx = ex

∫ ekx dx = 1k ⋅ ekx

∫ √ x dx = 23 ⋅ x1,5 = 23 ⋅ ( √ x )3


∫ ln ( x ) dx = x ⋅ ln ( x ) − x

Bevis:

( x ⋅ ln x − x )’ =

( x ⋅ ln x )’ − ( x )’ =

( x )’ ⋅ ln x + x ⋅ ( ln x )’ − 1 =

1 ⋅ ln x + x ⋅ 1x  − 1 = ln x

Integralregning 12

Areal mellem grafer

f ( x ) = x220 + 1 g ( x ) = 1 = x0 F ( x ) = x320 ⋅ 3 + x G ( x ) = x / 2 F ( 6 ) − F ( 1 ) − G ( 6 ) + G ( 1 ) = 3,583 A1 = ∑M − 1n = 0 q ⋅ f ( s ( n ) ) = 8,583 A2 = ∑M − 1n = 0 q ⋅ g ( s ( n ) ) = 5 A = A1 − A2 = 3,583

Integralregning 11

Arealer og ubestemt integral Forenklet

f ( x ) = 2 x + e−x ∫ 2 x + e−x dx =  2 ⋅ 12 ⋅ x2 + 1 − 1 ⋅ e−x = F ( x ) = x2 − e−x A = ∫30 2 x + e−x dx =  [ x2 − e−x ]30 = F ( 3 ) − F ( 0 ) = ( 32 − e−3 ) − ( 02 − e−0 ) = 9,95