lørdag den 30. januar 2016

Cirkel-linje-skæring 6

Udførligt forklaret



























Beregner skæringer
mellem cirkler og linjer
bestemt ved forskriften:

a x + b y + c = 0,

c = - ( a x₀ + b y₀ )

afledt af

a ( x - x₀ ) + b ( y - y₀ ) = 0 

a x + b y - ( a x₀ + b y₀ ) = 0.

Bemærk:

For y = A x + B er

1) a = A og b = -1

2) x₀ = 0 og y₀ = B


FriViden, video 33:

Skæring ml. linie og cirkel

Webmatematik:

Cirkler og linjers skæringer

Cirkel-linje-skæring 5

Cirkel-linje-intersektion













Beregner opgaver af typen:

En cirkel har centrum i punktet
( -0,25 ; -0,3 ) og radius = 7,5. -
Den skæres af en linje, som går
gennem den 119. og 17. grad.
Bestem skæringskoordinaterne.

FriViden, video 33:

Skæring ml. linie og cirkel

Web-matematik:

Cirkler og linjers skæringer

Med fuldt skalerbare

skydere og grafer!

lørdag den 23. januar 2016

Vektorer (differens mellem vektorer)

Vektorer (differens)















Vektordifferens (easy way)

Vektordifferens (elaboreret)










FriViden (video 3):

Regning med vektorer i planen

Webmatematik (Vektorer i 2 D):

Regning med vektorer








Forklaring

Hvis -a→ angiver pilen fra B til

A og c→ angiver pilen A til C,

angiver differensen ( c→ - a→ )

= ( -a→ + c→ ) pilen fra B til C.

Dermed er blå + grøn = rød:

( -a→ + c→ ) = b→

torsdag den 21. januar 2016

Vektorer (vektortyper)

Vektortyper

Del af linjestykke













FriViden (video 1):

Introduktion til vektorer i planen

Web-matematik: Vektorer

Lod- og vandrette vektorer

Ens- og modsatrettede vektorer

Sted- og tværvektor

Vektor mellem to punkter

Enhedsvektor

fredag den 15. januar 2016

Vektorer (linjens ligning)

Linjens ligning (bevis)
















Linjens ligning 2
















Linjens ligning 3
Ligger P ( x ; y ) på linjen,

er P₀ ( x₀ ; y₀ ) = P,

eller vektor ( P₀ P )→ ⊥ n→

⇔ ( P₀ P )→ ⋅ n→ = 0 ⇔

( x - x₀ ; y - y₀ ) ⋅ ( a ; b ) = 0 ⇔

a ⋅ ( x - x₀ ) + b ⋅ ( y - y₀ ) = 0





Fra normalvektor til ligning:

( x ; y ) = ( x₀ ; y₀ ) + t ( a ; b )

r = ( a ; b ) ⇔ n = ( -b ; a )

⇔ -b ⋅ ( x - x₀ ) + a ⋅ ( y - y₀ ) = 0

⇔ -b x + a y - ( a ⋅ y₀ - b ⋅ x₀ ) = 0 ⇔

-b x + a y + c = 0, c = -( a ⋅ y₀ - b ⋅ x₀ ).





Fra ligning til parameterfremstilling:

a x + b y + c = 0

n = ( a ; b ) ⇔ r = ( -b ; a )

x = 0: b y + c = 0 ⇔ y = -c / b

( x ; y ) = ( 0 ; -c / b ) + t ( -b ; a )


FriViden (video 21-22):

Linjens ligning

Webmatematik (vektorer):

Linjens ligning

Wikipedia:

Line equation

torsdag den 14. januar 2016

Vektorer (areal og vinkel)

Vinkel- og Arealberegning






FriViden (Video 18):

Arealberegning vha. determinant

Webmatematik:

Determinant

Webmatematik:

Vinkel mellem to vektorer

Vinklen mellem to vektorer,
der udgår fra samme punkt,
kan bestemmes ved at tage
cosinus invers til:

produktet af deres
x-koordinater +
produktet af deres
y-koordinater

delt med:
produktet af
deres længder.

Normal- og retningsvektor

Normal- og retningsvektor













FriViden (video 17):

Tværvektor

Webmatematik:

Vektorer

To vektorer står vinkelret på
hinanden (er ortogonale), hvis
deres prikprodukt (det såkaldte
skalarprodukt) er lig med nul:

Det vil sige: hvis summen af 1.
koordinaternes produkt og 2.
koordinaternes produkt er
lig med nul.

Webmatematik:

Skalarprodukt

mandag den 11. januar 2016

Vektorer (determinant)

Determinanten













FriViden (video 15-16):

Parallelle vektorer (determinant)

Webmatematik:

Determinant

Vinkelbuer og -halveringslinjer

Vinkelsum og parallelle linjer













Placer vinkel B og C til henholdsvis
venstre og højre for vinkel A, og du
har alle trekantens vinkler på den
samme rette linje, hvilket viser, at
trekantens vinkelsum er 180 grader.

lørdag den 2. januar 2016

Vektorer (punkt- og vinkelfinder)

Punktberegning vha. stedvektor
















FriViden:

Video 6: Punktbestemmelse

Video 6: Stedvektor

Video 7: Ortogonale vektorer

Video 9: Prikprodukt













Med vinkelberegning!

Vinklen mellem to vektorer,
der udgår fra samme punkt,
kan bestemmes ved at tage
cosinus invers til:

produktet af deres
x-koordinater +
produktet af deres
y-koordinater

delt med:

produktet af
deres længder.

Video 11: Vinkelbestemmelse

Webmatematik:

Vinkel ml. vektorer

fredag den 1. januar 2016

Vektorer 4 (punktberegning)

C's koordinater beregnes
















FriViden:

Video 6: Punktbestemmelse

Video 11: Vinkelbestemmelse


Web-matematik:

Vinkel ml. vektorer

På linjen AB, der har koordinaterne

A ( 2 ; -5 ) og B ( 14 ; 7 ),

ligger punktet C, sådan at længden

af vektor AC = 2 / 3 af AB.

C's koordinatsæt

bestemmes i det følgende:

AB = ( 14 - 2 ; 7 - ( -5 ) ) = ( 12 ; 12 )

Stedvektoren OC, der

(som forbogstavet O antyder)

udgår fra origo, findes:

OC = OA + AC

= OA + ( 2 / 3 ) ⋅ AB

= ( 2 ; -5 ) + ( 2 / 3 ) ⋅ ( 12 ; 12 )

= ( 2 ; -5 ) + ( 8 ; 8 ) = ( 10 ; 3 )