Cirkel rotation ( elaboreret )

Cirkel ( elaboreret )

NEW ( Coloured )

Cirkel rotation (skabelon)

Cirkel (skabelon)

NEW

Optisk bedrag

Skabelon

Elaboreret

Parablens toppunkt og rødder uden formler

Parablens toppunkt og rødder

f(x) = ax2 + bx + c

Er h et reelt tal, kan en alternativ beregning af toppunktet ( S ; T ) foretages ved først at bestemme S,
dvs. det x, for hvilket det gælder, at:

f(x − h) = f(x + h) ⇔ 

a(x − h)2 + b(x − h) + c =

a(x + h)2 + b(x + h) + c ⇔

a(x2 + h2 − 2hx) + b(x − h) =

a(x2 + h2 + 2hx) + b(x + h) ⇔

ax2 + ah2 − 2ahx + bx − bh =

ax2 + ah2 + 2ahx + bx + bh ⇔

− 2ahx − bh = 2ahx + bh ⇔

− 2ahx − 2ahx = bh + bh ⇔

− 4ahx = 2bh ⇒

Smidlertidig = 2bh − 4ah ⇒

S =  − b2a.

Med fundet af toppunktets x-værdi S er y-værdien T givet ved:

Tmidlertidig = f(S) =

aS2 + bS + c =

a( − b2a)2 + b( − b2a) + c =

b24a +  − b22a + c =

b24a +  − 2b24a + 4ac4a =

b2 − 2b2 + 4ac4a =

− b2 + 4ac4a ⇒

T =  − d4a, d = b2 − 4ac.

Se også linje 32-38 her: Parablens toppunkt og rødder.

Lagkagediagram (skabelon)

Lagkagediagram

Webmatematik: Cirkeldiagram Wikipedia: Lagkagediagram

Skæring mellem linjer

Skæring mellem linjer

Alt andet lige beregnes et eventuelt skæringspunkt mellem to linjer lettest ved at bestemme disses forskrifter som henholdsvis en linjeligning givet ved fx:

ax + by + c = 0

og en vektorfunktion bestemt ved fx:

(B1 + b1t, B2 + b2t).

Ved indsættelse af vektorfunktionen i linjeligningen fås ligningen:

a(B1 + b1t) + b(B2 + b2t) + c = 0,

i hvilken t omdøbes til t1 og isoleres på venstresiden:

t1 =  − aB1 − bB2 − cab1 + bb2

Skæringskoordinaterne s1 og s2 bestemmes nu ved i vektorfunktionen at erstatte t med t1:

s1 = B1 + b1t1 

s2 = B2 + b2t1.

Se også: Skæring mellem to linjer NEW.

Vinkelhalvering uden passer

Universaltrekant

Hvis A, B og C's halveringslinjer skærer
a, b og c i D, E og F, er BD, CE og AF givet ved henholdsvis:

BD = cab + c

CE = aba + c

AF = bca + b

Dermed er eksempelvis punktet D givet ved:

D1 = B1 + c ( C1 − B1 )b + c

D2 = B2 + c ( C2 − B2 )b + c

Hvis d1 = D1 − A1 og d2 = D2 − A2 

kan vinkel A's halveringslinjes parametriske ligning bestemmes sådan:

(A1 + d1t, A2 + d2t),

mens dens kartesiske ligning er givet ved: − d2(x − A1) + d1(y − A2) = 0.

En normalvektor gennem fx A kan skrives på formen: (A1 − d2t, A2 + d1t),

og den tilsvarende normal er givet ved: − d1(x − A1) − d2(y − A2) = 0.

De øvrige halveringslinjer og disses normaler gennem B og C beregnes på tilsvarende vis.