Integralregning 27

Blyforurening (middelværdi)

Blyforurening af vejkanters vegetation stammer især fra bilers forbrænding  af blyholdig benzin. - Ved en vej var den - som en funktion af afstanden fra vejkanten - aftagende blykoncentration med god tilnærmelse givet ved: f ( x ) = 80 ⋅ 0,9548x I en 50 m bred zone langs vejen var det gennemsnitlige antal mg bly pr. kg vegetation givet ved: 150 ⋅ ( F ( 50 ) − F ( 0 ) ) = 31,1676 Klik for facit-tjek

Integralregning 26

Samlet virkning og gennemsnit Husk: ∫ kx dx = kxln ( k ) Klik for bevis

I et oliefelt er produktions- hastigheden for gas, angivet i kubikmeter pr. år, bestemt ved: f ( t ) = 6 ⋅ 1010 ⋅ 1,052t  { 0 ≤ t ≤ 25 } Den samlede gasproduktion i kubikmeter efter 25 år er givet ved: F ( 25 ) − F ( 0 ) = 3,01975942 ⋅ 1012 idet stamfunktionen F ( t ) = 6 ⋅ 1010 ⋅ 1,052tln 1,052  { 0 ≤ t ≤ 25 } Klik for facit-tjek Middelværdien, givet ved: 125 − 0 ⋅ ( F ( 25 ) − F ( 0 ) ) = 1,21 ⋅ 1011 angiver den gennemsnitlige årlige gasproduktion.

Integralregning 25

Samlet virkning og gennemsnit Middelværdien (eller gennemsnittet af en funktion f ( x ), der er afgrænset af intervallet [ a ; b ], er bestemt ved: <  f ( x )  >  =   1b − a ⋅ ∫ba f ( x ) dx

I en lang række vidt forskellige tilfælde kan den samlede virkning, mængde eller lign. bestemmes vha. integration og/eller differentiation. Her er et eksempel: Et menneske udsættes gennem 30 døgn for radioaktiv stråling. - Dosis- hastigheden (den mængde stråling, vedkommende påvirkes af pr. tids- enhed) er givet ved: f ( t ) = 300 ⋅ e−0,0255 ⋅ t idet t er tiden i døgn, og f ( t ) er do- sishastigheden i mikrogray pr. døgn. Den samlede stråling, personen mod- tager, er givet ved: F ( 30 ) − F ( 0 ) = 6290,19 mikrogray idet stamfunktionen F ( t ) = 300 ⋅ e−0,0255 ⋅ t −0,0255 Klik for facit-tjek Middelværdien, givet ved: 130 − 0 ⋅ ( F ( 30 ) − F ( 0 ) ) = 209,67 angiver den gennemsnitlige strålingsdosis pr. døgn.

Integralregning 24

Hængebro (Sprogø-Sjælland)

f ( x ) = 45164836 x2  { − 812 ≤ x ≤ 812 } √ 1 + (  ddx f ( x ) )2 √ 1 + ( 2⋅45164836 ⋅ x )2 √ 1 + 902 ⋅ x21648362 Kabellængde: ∫812−812√ 1 + 902 ⋅ x21648362  dx = 1675,73 Klik for facit-tjek

Integralregning 23

Rumfang (truthorn)

V = π ⋅∫ba( f ( x ) )2 dx Beregninger f ( x ) = ( 4 ⋅ e2,6x ) {b ≥ x ≥ 0} ( 4 ⋅ e2,6x )2 42 ⋅ ( e2,6x )2 16 ⋅ e5,2x Stamfunktion F ( x ) = ( 16 ⋅ e5,2x5,2 ) V = π ⋅ ( F ( 1,5 ) − F ( 0 ) ) = 23582,26 Klik for facit-tjek Web-matematik

Integralregning 22

Længde af cirkelafsnit Bemærk: ( √x )’ = 12√x Se bevis her

f ( x ) = √ 42 − x2 √ 1 + ( ddx f ( x ) )2 √ 1 + ( ddx √ 42 − x2 )2 √ 1 + ( 12 ⋅ √ 16 − x2 ⋅ ddx ( 16 − x2 ) )2 √ 1 + ( ddx ( 16 − x2 )2 ⋅ √ 16 − x2 )2 √1 + ( 0 − 2x2 ⋅ √ 16 − x2 )2 √ 1 + ( − x√ 16 − x2 )2 √ 1 + x216 − x2 √ 16 − x2 + x216 − x2 √1616 − x2 4 ⋅ 1√ 16 − x2 F ( x ) = 4 ⋅ sin−1(  x4  ) F ( 4 ) − F ( − 4 ) = 12,57

Buelængde (Arc Length Calculator)

Længde af kurveudsnit

Kurvelængdeformel (bevis): https://goo.gl/oXqjkw △ L2 = △ x2 + △ y2 △ L2△ x2 = △ x2△ x2 + △ y2△ x2 ( △ L△ x )2 = 1 + ( △ y△ x )2 △ L△ x = √ 1 + ( △ y△ x )2 Eftersom lim△x → 0 △L△x = L ’ ( x ) = lim△x → 0√ 1 + ( △ y△ x )2 = √ 1 + f ’ ( x )2  idet f ’ ( x ) =lim△x → 0 △y△x finder vi, at L(x) = ∫√ 1 + f ’ ( x )2 dx ⇒ L = ∫ba√ 1 + f ’ ( x )2 dx.