Lodret kast opad

Lodret kast opad

Se også Differentialregning 14: Frit fald

Acceleration

Bevægelse med acceleration Position (strækning): s ( t ) = 12 ⋅ a ⋅ t2 + v0 ⋅ t + s0 Hastighed: v ( t ) = a ⋅ t + v0

Bevægelse med konstant acceleration. Ved konstant partikelacceleration a er denne givet ved: v ' ( t ) = a Dermed er hastigheden v ( t ) = a ⋅ t + v0 Og endelig er stedfunktionen s ( t ) = 12 ⋅ a ⋅ t2 + v0 ⋅ t + s0

Retlinjet bevægelse

Retlinjet bevægelse Position (strækning): s ( t ) = v0 ⋅ t + s0 Hastighed: v0 Acceleration: 0

For en partikels bevægelse ad  en ret linje gælder, at strækningen (stedet) s er en funktion af tiden t: s ( t ) = v0 ⋅ t + s0 Partiklens hastighed: v ( t ) = s ' ( t ) Begyndelsesstedet: s ( 0 ) = s0 Starthastigheden: v ( 0 ) = v0 For en jævn, retlinjet bevægelse er hastigheden konstant: s ' ( t ) = v0 og stamfunktionen er givet ved  S ( t ) = v0 ⋅ t + s0

Logaritmisk skala 3

Logaritmisk koordinatsystem Følgende billige Pocket CAS Pro app der blandt andet kan tegne og udprinte grafer i enkelt- og dobbeltlogaritmiske koordinat- systemer kan varmt anbefales. Se også her.

y = b ⋅ ax I et enkeltlogaritmisk koordinat- system (hvor kun y-aksen er loga- ritmisk) er grafen for en eksponen- tiel sammenhæng en ret linje. y = b ⋅ xa I et dobbeltlogaritmisk koordinat- system er grafen for en potens- sammenhæng en ret linje.

Logaritmisk skala 2

Højde og lufttryk

Eksponentiel regression efter forskriften y = a ⋅ bx Lufttrykket p som en funktion af højden x: P(x) = a ⋅ bx

Logaritmisk skala 1

Højde og lufttryk

h = højden i kilometer Lp = log ( lufttrykket p ) Lineær regression: Lp ~ (−0,068315) h + 3,1053 Log(p) = (−0,068) x + 3,1053 p = 10 (−0,068) x + 3,105 b Lufttrykket p som en funktion af højden x i kilometer: p(x) = 10 (−0,068) x + 3,105 b

Modelopstilling 6

Bakterievækst 3.3

Modelopstilling 5

Bakterievækst 2.3

Modelopstilling 4

Bakterievækst 1.3

Modelopstilling 3

Optimal kanalpramslængde

Hvor lang må en pram maksimalt være, hvis den skal kunne komme igennem svinget fra en 20 meter bred hovedkanal til en 12 meter bred sidekanal? Bemærk, at prammen for nemheds skyld er tegnet som et linjestykke, dvs uden bredde. Bemærk også, at pramlængden er lig med summen af to ensvinklede trekanters hypotenuser.

Modelopstilling 2

Trafikafvikling (eksempel)

N ( v ) = vb + R ⋅ v + k ⋅ v2 { v > 0 } Opgaveformulering Bestem vha. ovenstående trafik- afviklingsmodel den hastighed, hvormed flest mulige biler kan passere et trafikknudepunkt. Forklaring N er det antal biler, der passerer hvert sekund som en funktion af deres hastighed v ( m / s ). b er bilernes længde i meter, k deres friktion, og R er bilisternes reaktionstid i sekunder, mens bremselængden i meter er givet ved v i anden gange k. Præmis Hver bil holder en sikkerheds- afstand til den forankørende på reaktionslængden + bremselæng- den, der tilsammen er lig med: R ⋅ v + k ⋅ v2 Hvis hertil lægges billængden b, vil hver bil under hele trafikafvik- lingen lægge beslag på følgende strækning (vejlængde) i meter: b + R ⋅ v + k ⋅ v2 For at finde den optimale hastighed for afvikling af mest mulig trafik diffe- rentierer vi N ( v ) og løser ligningen N ' ( v ) = 0.

Trigonometri og differentiation

3 cos ( x ) e-x + 3 sin ( x ) y = cos ( 3 x ) + 2 sin ( 2 x )

f (x) = 3 ⋅ cos(x) ⋅ e−x + 3 ⋅ sin(x) g (x) = f ' (x) = 3 (cos(x))' ⋅ e−x + 3 cos(x) ⋅ (e−x)' + 3 cos(x) = −3 sin(x) ⋅ e−x + 3 cos(x) ⋅ (−e−x) + 3 cos(x) = −e−x ⋅ 3 sin(x) − e−x ⋅ 3 cos(x) + 3 cos(x) = −e−x (3 sin(x) + 3 cos(x)) + 3 cos(x) f (x) = cos(3x) + 2 ⋅ sin(2x) g (x) = f ' (x) = (cos (3x))' + 2 ⋅ (sin (2x))' = −sin(3x) ⋅ (3x)' + 2 ⋅ cos(2x) ⋅ (2x)' = − sin(3x) ⋅ 3 + 2 ⋅ cos(2x) ⋅ 2