Statistik 23

Binomialkoefficient (elaboreret) Binomialkoefficienten: K ( n, x ) = n!x! ⋅ ( n − x )! =  nCr ( n, x )    angiver, på hvor mange måder, en delmængde på x elementer kan vælges - uden hensyn til rækkefølgen - af en mængde, der består af n elementer.   Mere konkret angiver f.eks. tallet K ( 11, 5 ) = 462, hvor mange måder en gruppe på 5 elever kan vælges på blandt 11 elever. - Det angiver også, på hvor mange måder 5 krydser kan placeres i et skema med 11 rubrikker. - En delmængde, bestående af 5 elementer er en såkaldt 5-kombination. K (11, 5 ) = 11!5! ⋅ ( 11 − 5 )! =  11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 75 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 462 Se video 6 og 7: Kombinatorik ...

Sandsynlighed og kombinatorik: Grundlæggende begreber Se også Wikipedia: Kombinatorik Binomialkoefficienten K(n,x) K ( 7,4 ) = 35 angiver, hvor mange forskellige måder x = 4 kugler kan vælges på fra en mængde bestående af n = 7 kugler: 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 44 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 35 Der vælges 1 kugle ad 4 omgange. - Som udgangspunkt er der altså 4 valgmuligheder: Efter valget af den første kugle er der 3, efter den anden 2 osv. Alt i alt giver det 4! = 24 måder at kombinere 4 kugler på: 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 44! = 35 Hver gang én kugle er valgt, er der 1 kugle mindre at vælge mellem. Da valget af en hvilken somhelst af de 7 kugler giver 6 måder at vælge den næste kugle på etc., er der i alt 7 · 6 · 5 · 4 = 840 valgmuligheder, som divideret med 24 giver 35 måder at vælge 4 ud af 7 kugler på. Forlænger vi nu brøken med 3 · 2 · 1, finder vi at: 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ ( 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 )4! ⋅ ( 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ) = 7!4! ⋅ ( 7 − 4) ! = 35

Statistik 22

Binomialformlen (eksempel) Opgaver: Bekræft, at sandsynligheden for med 10 kast at slå: 3 seksere = 15,50 % 5 seksere = 1,30 % 6 seksere = 0,22 % højst 4 seksere = 98,45 % mindst 5 seksere = 1,55 % mellem 3 og 5 seksere = 22,23 % Bekræft, at sandsynligheden for med 3 kast at slå: mindst 1 sekser = 42,13 % mindst 2 seksere = 7,41 %

Sandsynlighed og kombinatorik: Grundlæggende begreber Se også video 6-9: Kombinatorik ... En terning kastes n = 10 gange. Vi beregner sandsynligheden P for X ( = 7 ) gange at få basis- hændelsen H ( = 6 øjne), der svarer til basissandsynligheden p ( = 1 / 6 ). - Vi beregner m.a.o. sandsynligheden P for med 10 kast at slå 7 seksere: n = 10 p = 0,166666666667 a = b = 7 n!a! ⋅ ( n − a )! ⋅ ( 16 )a ⋅ ( 1 − 16 ) ( n − a ) = 0,0002480 Binomialkoefficienten: K ( n, x ) = n!x! ⋅ ( n − x )! =  nCr ( n, x )    angiver, hvor mange måder, x elementer kan vælges på (uden hensyn til rækkefølgen) af en mængde bestående af n elementer.

Statistik 21

Binomialkoefficient (uddybning) Binomialkoefficienten: K ( n, x ) = n!x! ⋅ ( n − x )! =  nCr ( n, x )    angiver, hvor mange måder, x elementer kan vælges på (uden hensyn til rækkefølgen) af en mængde bestående af n elementer.   Mere konkret angiver f.eks. tallet K ( 11, 5) = 462, på hvor mange måder en gruppe på 5 elever kan vælges blandt 11 elever. - Det angiver også, på hvor mange måder 5 krydser kan placeres i et skema med 11 rubrikker. - En delmængde, bestående af 5 elementer er en såkaldt 5-kombination. K ( 11, 5 ) = 11!5! ⋅ ( 11 − 5 )! =  11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 75 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 462 Se video 6 og 7: Kombinatorik ...

Sandsynlighed og kombinatorik: Grundlæggende begreber Se også Wikipedia: Kombinatorik Binomialkoefficienten K ( n, x ) K ( 8, 6 ) = 28 angiver, hvor mange forskellige måder x = 6 kugler kan vælges på fra en mængde bestående af n = 8 kugler: 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 36 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 28 Der vælges 1 kugle ad 6 omgange. Som udgangspunkt er der altså 6 valgmuligheder: Efter valget af den første er der 5, efter den anden 4 osv. - Alt i alt giver det 6! = 720 måder at kombinere 6 kugler på: 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 36! = 28 Hver gang én kugle er valgt, er der 1 kugle mindre at vælge mellem. Da valget af en hvilken somhelst af de 8 kugler i den første søjle giver 7 måder at vælge den næste på osv., er der i alt 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 20160 valgmuligheder, som divideret med 720 giver 28 måder at vælge 6 ud af 8 kugler på. Forlænger vi nu brøken med 2 · 1, finder vi at: 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 16! ⋅ 2 ⋅ 1 = 8!6! ⋅ ( 8 − 6 )! = 28

Statistik 20

Binomialkoefficienten (eksempler) Binomialkoefficienten: K ( n, x ) = n!x! ⋅ ( n − x )! =  nCr ( n, x )    angiver på hvor mange måder, en delmængde på x elementer kan vælges (uden hensyn til rækkefølgen) af en mængde, der består af n elementer.   Mere konkret angiver f.eks. tallet K ( 13,4 ) = 715, på hvor mange måder en gruppe på 4 elever kan vælges blandt 13 elever. - Det angiver også, på hvor mange måder 4 krydser kan placeres i et skema med 13 rubrikker. - En delmængde, bestående af 4 elementer er en såkaldt 4-kombination. K ( 13, 4 ) = 13!4! ⋅ ( 13 − 4 )! =  13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 104 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 715  Se video 6 og 7: Kombinatorik ...

Sandsynlighed og kombinatorik: Grundlæggende begreber Se også Wikipedia: Kombinatorik I en skoleklasse er der 13 drenge og 15 piger. 1) På hvor mange måder kan en gruppe bestående af 7 elever udvælges fra klassen? Svar: K ( 28,7 ) = 1184040 måder. 2) I hvor mange af grupperne er der kun piger? Svar: K ( 15,7 ) = 6435 = det antal måder, hvorpå der kan vælges en kombination af 7 piger blandt 15. 3) I hvor mange af grupperne er der 3 drenge og 4 piger? Svar: K ( 13,3 ) ⋅ K ( 15,4 ) =  286 ⋅ 1365 = 390390 muligheder for at udtage en kombination af 3 drenge og 4 piger, idet der hver gang 3 drenge vælges, er 1365 muligheder for at vælge 4 piger. Hvis rækkefølgen har betydning for udvælgelsen af f.eks. 7 ud af 28 elever, er fremgangsmåden en anden. Vil man f.eks. vælge: 1) en elevrådsformand, 2) en næstformand, 3) en ordstyrer, 4) en kasserer, 5) en sekretær, 6) en første-suppleant og 7) en anden-suppleant, er antallet af mulige kombinationer: 28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 = 5967561600.