Statistik 23

Binomialkoefficient (elaboreret) Binomialkoefficienten: K ( n, x ) = n!x! ⋅ ( n − x )! =  nCr ( n, x )    angiver, på hvor mange måder, en delmængde på x elementer kan vælges - uden hensyn til rækkefølgen - af en mængde, der består af n elementer.   Mere konkret angiver f.eks. tallet K ( 11, 5 ) = 462, hvor mange måder en gruppe på 5 elever kan vælges på blandt 11 elever. - Det angiver også, på hvor mange måder 5 krydser kan placeres i et skema med 11 rubrikker. - En delmængde, bestående af 5 elementer er en såkaldt 5-kombination. K (11, 5 ) = 11!5! ⋅ ( 11 − 5 )! =  11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 75 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 462 Se video 6 og 7: Kombinatorik ...

Sandsynlighed og kombinatorik: Grundlæggende begreber Se også Wikipedia: Kombinatorik Binomialkoefficienten K(n,x) K ( 7,4 ) = 35 angiver, hvor mange forskellige måder x = 4 kugler kan vælges på fra en mængde bestående af n = 7 kugler: 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 44 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 35 Der vælges 1 kugle ad 4 omgange. - Som udgangspunkt er der altså 4 valgmuligheder: Efter valget af den første kugle er der 3, efter den anden 2 osv. Alt i alt giver det 4! = 24 måder at kombinere 4 kugler på: 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 44! = 35 Hver gang én kugle er valgt, er der 1 kugle mindre at vælge mellem. Da valget af en hvilken somhelst af de 7 kugler giver 6 måder at vælge den næste kugle på etc., er der i alt 7 · 6 · 5 · 4 = 840 valgmuligheder, som divideret med 24 giver 35 måder at vælge 4 ud af 7 kugler på. Forlænger vi nu brøken med 3 · 2 · 1, finder vi at: 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ ( 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 )4! ⋅ ( 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ) = 7!4! ⋅ ( 7 − 4) ! = 35